2019-08-06 09:51:21 公務(wù)員考試網(wǎng) 文章來源:華圖教育
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今天我們這篇文章主要來講排列組合的解題法寶之一的插板法,下邊我們一起來看一下什么是插板法。
基本題型
基本題型為:n個相同元素,不同個m組,每組至少有一個元素;則只需在 n 個元素的n-1 個間隙中放置 m-1 塊隔板把它隔成 m 份,求共有多少種不同方法?
其解題思路為:將 n 個相同的元素排成一行, n 個元素之間出現(xiàn)了( n-1 )個空檔,現(xiàn)在我們用( m-1 )個 “檔板 ”插入( n-1 )個空檔中,就把 n 個元素隔成有序的 m 份,每個組依次按組序號分到對應(yīng)位置的幾個元素(可能是 1 個、2 個、 3 個、 4 個、 ….),這樣不同的插入辦法就對應(yīng)著 n 個相同的元素分到 m 組的一種分法,這種借助于這樣的虛擬 “檔板 ”分配元素的方法稱之為插板法。
例題:共有 10 完全相同的球分到 7 個班里,每個班至少要分到一個球,問有幾種不同分法?
解析:我們可以將 10 個相同的球排成一行, 10 個球之間出現(xiàn)了 9 個空隙,現(xiàn)在我們用 6 個檔板 ”插入這 9個空隙中,就 “把 10 個球隔成有序的 7 份,每個班級依次按班級序號分到對應(yīng)位置的幾個球(可能是 1 個、2 個、 3 個、 4 個),這樣,借助于虛擬 “檔板 ”就可以把 10 個球分到了 7 個班中。
基本題型的變形
(1)變形1:有 n 個相同的元素,要求分到 m 組中,問有多少種不同的分法?
解題思路:這種問題是允許有些組中分到的元素為 “0”,也就是組中可以為空的。對于這樣的題,我們就首先將每組都填上 1 個,這樣所要元素總數(shù)就 m 個,問題也就是轉(zhuǎn)變成將( n+m )個元素分到 m 組,并且每組至少分到一個的問題,也就可以用插板法來解決。
例題:有 8 個相同的球放到三個不同的盒子里,共有( )種不同方法 。
解答:題目允許盒子有空,則需要每個組添加 1 個,則球的總數(shù)為 8+3 ×1=11,此題就有 C(10 ,2) =45(種)分法了。
(2)變形2:有 n 個相同的元素,要求分到 m 組,要求各組中分到的元素至少某個確定值 S( s>1,且每組的 s值可以不同) ,問有多少種不同的分法?
解題思路: 這種問題是要求組中分到的元素不能少某個確定值 s,各組分到的不是至少為一個了。 對于這樣的題,我們就首先將各組都填滿,即各組就填上對應(yīng)的確定值 s 那么多個,這樣就滿足了題目中要求的最起碼的條件,之后我們再分剩下的球。這樣這個問題就轉(zhuǎn)變?yōu)樯厦嫣岬降淖冃?的問題了,也就可以用插板法來解決。
例題:15 個相同的球放入編號為 1、2、 3 的盒子內(nèi),盒內(nèi)球數(shù)不少于編號數(shù),有幾種不同的放法?
解析:編號 1:至少 1 個,符合要求;
編號 2:至少 2 個:需預(yù)先添加 1 個球,則總數(shù) -1 ;
編號 3:至少 3 個,需預(yù)先添加 2 個,才能滿足條件,后面添加一個,則總數(shù) -2 ;
則球總數(shù) 15-1-2=12 個放進(jìn) 3 個盒子里,所以 C(11,2)=55 (種)。
通過上面的例題,我們可以看到在排列組合題其實(shí)是有方法及步驟可循的,只要大家能夠牢記做題步驟即可快速作出答案。望大家能夠熟練掌握,在考場做到快速解題。
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