2019-10-08 14:22:19 公務(wù)員考試網(wǎng) 文章來源:華圖教育
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這篇文章主要來講排列組合的解題法寶之一的插板法,下邊我們一起來看一下什么是插板法。
基本題型
基本題型為:n個(gè)相同元素,不同個(gè)m組,每組至少有一個(gè)元素;則只需在n 個(gè)元素的n-1 個(gè)間隙中放置m-1 塊隔板把它隔成m 份,求共有多少種不同方法?
其解題思路為:將n 個(gè)相同的元素排成一行,n 個(gè)元素之間出現(xiàn)了(n-1 )個(gè)空檔,現(xiàn)在我們用(m-1 )個(gè)“檔板”插入(n-1 )個(gè)空檔中,就把n 個(gè)元素隔成有序的m 份,每個(gè)組依次按組序號(hào)分到對應(yīng)位置的幾個(gè)元素(可能是1 個(gè)、2 個(gè)、3 個(gè)、4 個(gè)、….),這樣不同的插入辦法就對應(yīng)著n 個(gè)相同的元素分到m 組的一種分法,這種借助于這樣的虛擬“檔板”分配元素的方法稱之為插板法。
例題:共有10 完全相同的球分到7 個(gè)班里,每個(gè)班至少要分到一個(gè)球,問有幾種不同分法?
解析:我們可以將10 個(gè)相同的球排成一行,10 個(gè)球之間出現(xiàn)了9 個(gè)空隙,現(xiàn)在我們用6 個(gè)檔板”插入這9個(gè)空隙中,就“把10 個(gè)球隔成有序的7 份,每個(gè)班級(jí)依次按班級(jí)序號(hào)分到對應(yīng)位置的幾個(gè)球(可能是1 個(gè)、2 個(gè)、3 個(gè)、4 個(gè)),這樣,借助于虛擬“檔板”就可以把10 個(gè)球分到了7 個(gè)班中。
基本題型的變形
(1)變形1:有n 個(gè)相同的元素,要求分到m 組中,問有多少種不同的分法?
解題思路:這種問題是允許有些組中分到的元素為“0”,也就是組中可以為空的。對于這樣的題,我們就首先將每組都填上1 個(gè),這樣所要元素總數(shù)就m 個(gè),問題也就是轉(zhuǎn)變成將(n+m )個(gè)元素分到m 組,并且每組至少分到一個(gè)的問題,也就可以用插板法來解決。
例題:有8 個(gè)相同的球放到三個(gè)不同的盒子里,共有()種不同方法。
解答:題目允許盒子有空,則需要每個(gè)組添加1 個(gè),則球的總數(shù)為8+3 ×1=11,此題就有C(10 ,2)=45(種)分法了。
(2)變形2:有n 個(gè)相同的元素,要求分到m 組,要求各組中分到的元素至少某個(gè)確定值S(s>1,且每組的s值可以不同),問有多少種不同的分法?
解題思路:這種問題是要求組中分到的元素不能少某個(gè)確定值s,各組分到的不是至少為一個(gè)了。對于這樣的題,我們就首先將各組都填滿,即各組就填上對應(yīng)的確定值s 那么多個(gè),這樣就滿足了題目中要求的最起碼的條件,之后我們再分剩下的球。這樣這個(gè)問題就轉(zhuǎn)變?yōu)樯厦嫣岬降淖冃?的問題了,也就可以用插板法來解決。
例題:15 個(gè)相同的球放入編號(hào)為1、2、3 的盒子內(nèi),盒內(nèi)球數(shù)不少于編號(hào)數(shù),有幾種不同的放法?
解析:編號(hào)1:至少1 個(gè),符合要求;
編號(hào)2:至少2 個(gè):需預(yù)先添加1 個(gè)球,則總數(shù)-1 ;
編號(hào)3:至少3 個(gè),需預(yù)先添加2 個(gè),才能滿足條件,后面添加一個(gè),則總數(shù)-2 ;
則球總數(shù)15-1-2=12 個(gè)放進(jìn)3 個(gè)盒子里,所以C(11,2)=55 (種)。
通過上面的例題,我們可以看到在排列組合題其實(shí)是有方法及步驟可循的,只要大家能夠牢記做題步驟即可快速作出答案。望大家能夠熟練掌握,在考場做到快速解題。
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