2020年黑龍江省考行測數(shù)量關(guān)系之容斥問題

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容斥原理聽上去很高深的一個“玩意”，其實通俗點理解就是在求解一個問題時，發(fā)現(xiàn)有部分被重復(fù)加了，那么就把重復(fù)部分減去，如果少加了，那么就把那部分補上。其實也就是這樣。

兩集合的容斥關(guān)系公式：A∪B=A+B-A∩B。 如果被計數(shù)的事物有A、B兩類。那么所有屬于A類或?qū)儆贐類的元素個數(shù)總和=A類元素個數(shù)+屬于B類元素個數(shù)-既屬于A類又屬于B類的元素個數(shù)。孩子如果還是很難搞清這些關(guān)系，那么家長可以用文氏圖來給孩子講解，直觀很多。

三個集合的容斥關(guān)系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。 如果被計數(shù)的事物有A、B、C三類，那么所有屬于A類或?qū)儆贐類或?qū)儆贑類的元素的個數(shù)總數(shù)=A類元素的個數(shù)+B類元素的個數(shù)+C類元素的個數(shù)-既是A類又是B類元素的個數(shù)-既是B類又是C類元素的個數(shù)-既是A類又是C類元素的個數(shù)+同時是A類B類C類元素的個數(shù)。

特殊的容斥關(guān)系公式：I-M=A+B+C-D-2E

【例1】 籃子里有蘋果和梨兩種水果若干個，將這些水果分發(fā)給13人，每人最少拿一個，最多拿兩個不同的水果。已知有9個人拿到了蘋果，有8人拿到了梨，最后全部分完。那么，有( )人只拿到了蘋果。

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【答案】B

【解題思路】

第一步，本題考查容斥問題中二集合容斥問題。

第二步，根據(jù)二集合容斥問題公式，可得9+8−13=4，表示有4個人兩種水果都拿到了，那么只拿蘋果的有9−4=5人。因此，選擇B選項。

【例2】 有關(guān)部門對120種抽樣食品進行化驗分析，結(jié)果顯示，抗氧化劑達標的有68種，防腐劑達標的有77種，漂白劑達標的有59種，抗氧化劑和防腐劑都達標的有54種，防腐劑和漂白劑都達標的有43種，抗氧化劑和漂白劑都達標的有35種，三種食品添加劑都達標的有30種，那么三種食品添加劑都不達標的有( )種

A. 14 B. 15 C. 16 D. 17

E. 18 F. 19 G. 20 H. 21

【答案】E

【解題思路】

第一步，本題考查容斥問題中的三集合標準型容斥原理。

第二步，按照三集合標準型容斥原理公式，直接設(shè)三種食品添加劑都不達標的為x種，列出方程：68+77+59-54-43-35+30+x=120，解得x=18。因此，選擇E選項。

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