一、中國(guó)剩余定理的由來(lái)
我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中，記載這樣一個(gè)問題： “今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何。”用現(xiàn)在的話來(lái)說就是：“有一批物品，3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)余2個(gè)，5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)余3個(gè)，7個(gè)7個(gè)地?cái)?shù)余2個(gè)，問這批物品最少有多少個(gè)?” 這個(gè)問題的解題思路，被稱為“孫子問題”、“鬼谷算”、“隔墻算”、“韓信點(diǎn)兵”等等。
二、“中國(guó)剩余定理”算理及其應(yīng)用
明朝數(shù)學(xué)家程大位把這一解法編成四句歌訣：
三人同行七十(70)稀，五樹梅花廿一(21)枝，
七子團(tuán)圓正月半(15)，除百零五(105)便得知。
歌訣中每一句話都是一步解法：第一句指除以3的余數(shù)用70去乘;第二句指除以5的余數(shù)用21去乘;第三句指除以7的余數(shù)用15去乘;第四句指上面乘得的三個(gè)積相加的和如超過105，就減去105的倍數(shù)，就得到答案了。即：70×2+21×3+15×2-105×2=23
為什么這樣解呢?因?yàn)?0是5和7的公倍數(shù)，且除以3余1。21是3和7的公倍數(shù)，且除以5余1。15是3和5的公倍數(shù)，且除以7余1。(任何一個(gè)一次同余式組，只要根據(jù)這個(gè)規(guī)律求出那幾個(gè)關(guān)鍵數(shù)字，那么這個(gè)一次同余式組就不難解出了。)把70、21、15這三個(gè)數(shù)分別乘以它們的余數(shù)，再把三個(gè)積加起來(lái)是233，符合題意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍數(shù)，去掉105的倍數(shù)，剩下的差就是最小的一個(gè)答案。
三、“中國(guó)剩余定理”的應(yīng)用
主要是是針對(duì)那些我們學(xué)的口訣“公倍數(shù)做周期：余同取余，和同加和，差同減差”以外的余數(shù)問題的題目。
例1、一個(gè)數(shù)被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個(gè)數(shù)最小是幾?
A、81
B、34
C、128
D、103
【答案】B 解析：本題屬于余數(shù)問題。題中3、4、5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。則〔4，5〕=20;〔3，5〕=15;〔3，4〕=12;〔3，4，5〕=60。
為了使20被3除余1，用20×2=40;使15被4除余1，用15×3=45;使12被5除余1，用12×3=36。 然后，40×1+45×2+36×4=274。因?yàn)椋?74>60，所以，274-60×4=34，就是所求的數(shù)。所以選擇B選項(xiàng)。
例2、一個(gè)數(shù)被3除余2，被7除余4，被8除余5，這個(gè)數(shù)最小是幾?
A、53
B、34
C、128
D、73
【答案】A 解析：本題屬于余數(shù)問題。題中3、7、8三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。則〔7，8〕=56;〔3，8〕=24;〔3，7〕=21;〔3，7，8〕=168。
為了使56被3除余1，用56×2=112;使24被7除余1，用24×5=120。
使21被8除余1，用21×5=105;然后，112×2+120×4+105×5=1229。
因?yàn)椋?229>168，所以，1229-168×7=53，就是所求的數(shù)。所以選擇A選項(xiàng)。
例3、一個(gè)數(shù)除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小的自然數(shù)。
A、24
B、46
C、299
D、73
【答案】C 解析：本題屬于余數(shù)問題。題中5、8、11三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。則〔8，11〕=88;〔5，11〕=55;〔5，8〕=40;〔5，8，11〕=440。
為了使88被5除余1，用88×2=176;
使55被8除余1，用55×7=385;
使40被11除余1，用40×8=320。
然后，176×4+385×3+320×2=2499。
因?yàn)椋?499>440，所以，2499-440×5=299，就是所求的數(shù)。所以選擇C選項(xiàng)。
例4、有一個(gè)年級(jí)的同學(xué)，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，問這個(gè)年級(jí)至少有多少人?
A、95
B、116
C、99
D、302
【答案】D 解析：本題屬于余數(shù)問題。題中9、7、5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。則〔7，5〕=35;〔9，5〕=45;〔9，7〕=63;〔9，7，5〕=315。
為了使35被9除余1，用35×8=280;使45被7除余1，用45×5=225;
使63被5除余1，用63×2=126。然后，280×5+225×1+126×2=1877。
因?yàn)椋?877>315，所以，1877-315×5=302，就是所求的數(shù)，所以選擇D選項(xiàng)。
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