國(guó)考問題-幾何最值問題淺談

幾何問題幾乎是每次行政職業(yè)能力測(cè)試的必考內(nèi)容，通常來講常規(guī)的幾何問題一般難度都不大，只要大家掌握常見的幾何定理，幾何計(jì)算公式都較容易解決。但是關(guān)于幾何問題偶爾會(huì)考到一些與最值相關(guān)的題目，這些題目比較講求技巧性。今天我就給大家簡(jiǎn)單介紹一下部分幾何最值問題求解的思路。

我們知道在平面圖形當(dāng)中，如果一個(gè)圖形的周長(zhǎng)一定，則這個(gè)圖形的形狀越接近于圓其面積越大。

其形式我們可以想象成一群小朋友在上體育課，按照老師的要求，所有小朋友手拉手圍成一圈，那么這一圈的周長(zhǎng)就是所有小朋友臂展的加和。剛開始時(shí)，大家聚集在一起，胳膊沒有完全伸展開，中間圍起來的空地面積會(huì)相對(duì)較小。隨著老師口令，大家逐漸向后退，中間的空地會(huì)越來越大，但這一過程中大家手一直拉在一起，整個(gè)隊(duì)伍的周長(zhǎng)一直是所有小朋友臂展的加和。直到大家的胳膊完全伸展開，此時(shí)隊(duì)伍會(huì)呈現(xiàn)一個(gè)很標(biāo)準(zhǔn)的圓形，中間的空地面積達(dá)到最大。如果再大，大家就沒法保持手拉手狀態(tài)了。

其形式我們可以想象成一群小朋友在上體育課，按照老師的要求，所有小朋友手拉手圍成一圈，那么這一圈的周長(zhǎng)就是所有小朋友臂展的加和。剛開始時(shí)，大家聚集在一起，胳膊沒有完全伸展開，中間圍起來的空地面積會(huì)相對(duì)較小。隨著老師口令，大家逐漸向后退，中間的空地會(huì)越來越大，但這一過程中大家手一直拉在一起，整個(gè)隊(duì)伍的周長(zhǎng)一直是所有小朋友臂展的加和。直到大家的胳膊完全伸展開，此時(shí)隊(duì)伍會(huì)呈現(xiàn)一個(gè)很標(biāo)準(zhǔn)的圓形，中間的空地面積達(dá)到最大。如果再大，大家就沒法保持手拉手狀態(tài)了。

根據(jù)這一條幾何最值理論，考試時(shí)便可以設(shè)計(jì)一道幾何最值的題目，比如：

【例1】某健身館準(zhǔn)備將一塊周長(zhǎng)為100米的長(zhǎng)方形區(qū)域劃為瑜伽場(chǎng)地，將一塊周長(zhǎng)為160米的長(zhǎng)方形區(qū)域劃為游泳場(chǎng)館。若瑜伽場(chǎng)地和游泳場(chǎng)館均是滿足周長(zhǎng)條件下的最大面積，問兩塊場(chǎng)地面積之差為多少平方米?

A. 625

B. 845

C. 975

D. 1150

在本題中，瑜伽場(chǎng)地為周長(zhǎng)為100米的長(zhǎng)方形區(qū)域，題目需要求得瑜伽場(chǎng)地的最大面積。根據(jù)上面的幾何最值理論，此問題符合周長(zhǎng)一定的前提條件，所以當(dāng)這塊區(qū)域?yàn)檎�方形時(shí)面積最大，即如下圖1所示，正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為25米，其面積為625平方米。

同理，游泳館場(chǎng)地為周長(zhǎng)為160米的長(zhǎng)方形區(qū)域，當(dāng)這塊區(qū)域?yàn)檎�方形時(shí)面積最大，即如上圖2所示，正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為40米，其面積為1600平方米。

所以，兩塊場(chǎng)地面積之差為1600-625=975平方米，選擇C選項(xiàng)。

如果我們僅僅理解到此題的程度，只能算是形式上理解了這條最值理論。實(shí)際應(yīng)用這條理論具體計(jì)算題目時(shí)，核心的計(jì)算方法依據(jù)的是如果兩個(gè)數(shù)的和一定，那么當(dāng)兩個(gè)數(shù)相等時(shí)候這兩個(gè)數(shù)的積最大。表示成算式就是如果X+Y=M，(X，Y，M均為正數(shù))，當(dāng)X=Y=M2時(shí)，XY取得最大值。

比如上題中的瑜伽場(chǎng)地，如果我們?cè)O(shè)他的長(zhǎng)為a、寬為b，有(a+b)×2=100米，a+b=50米，最大面積即為ab的最大值，只有當(dāng)a=b=25米時(shí)，ab取得最值，ab=25×25=625平方米。

所以在解題時(shí)要注意結(jié)合以上兩種思路來檢驗(yàn)自己的解題方法是否準(zhǔn)確。

比如：

【例2】某農(nóng)家要建造一個(gè)新的矩形雞圈，如圖所示，該雞圈一面靠圍墻，另外三面共使用了200米長(zhǎng)的鐵絲網(wǎng)，問如果想讓雞圈的面積最大，雞圈的長(zhǎng)和寬比值應(yīng)為多少?

A. 1∶1

B. 2∶1

C. 3∶2

D. 7∶3

在求解本題時(shí)，如果大家不理解上面我們說的第二種思路，便會(huì)誤認(rèn)為雞圈為正方形時(shí)面積最大，實(shí)際上本題的情況并不滿足周長(zhǎng)一定。因?yàn)殡S著雞圈長(zhǎng)寬的變化，利用的圍墻長(zhǎng)度也在變化。如按圖中所示，應(yīng)該是a+2b=200米，除圍墻外三邊的總長(zhǎng)度是固定的。

正確的方法應(yīng)該按第二種思路處理，如果a與2b的和一定，當(dāng)a=2b=時(shí)，a×2b最大，則a×b也最大。所以，a：b=2：1，B選項(xiàng)是正確答案。

希望通過這樣兩個(gè)例題詳細(xì)解釋，能夠給大家關(guān)于幾何最值問題的學(xué)習(xí)提供必要幫助。

相關(guān)內(nèi)容推薦：