三支一扶行測(cè)：容斥原理

 
在計(jì)數(shù)時(shí)，必須注意無一重復(fù)，無一遺漏。為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理。

 

下面我們來看看近年數(shù)學(xué)運(yùn)算中的容斥原理問題：

 

【1】工廠組織職工參加周末公益活動(dòng)，有80%的職工報(bào)名參加，報(bào)名參加周六活動(dòng)的人數(shù)與報(bào)名參加周日活動(dòng)的人數(shù)比為2：1，兩天的活動(dòng)都報(bào)名參加的為只報(bào)名參加周日活動(dòng)的人數(shù)的50%，問未報(bào)名參加活動(dòng)的人數(shù)是只報(bào)名參加周六活動(dòng)的人數(shù)的（ ）？

 

A. 20% B. 30%

 

C. 40% D. 50%

 

【答案】C

 

【解析】設(shè)周六周日都參加活動(dòng)的人數(shù)為x，則總?cè)藬?shù)為8x÷80%=10x，未報(bào)名參加活動(dòng)的人數(shù)為2x，占只參加周六活動(dòng)的比例為40%。答案選擇C。

 

【小結(jié)】此題涉及兩集合，題目中出現(xiàn)比例、百分?jǐn)?shù)，所以做題時(shí)結(jié)合了賦值法，入手點(diǎn)為50%。并且題目中出現(xiàn)了“只”字，結(jié)合畫圖法。

 

【2】一批游客中每人都去了A、B兩個(gè)景點(diǎn)中至少一個(gè)。只去了A的游客和沒去A的游客數(shù)量相當(dāng)，且兩者之和是兩個(gè)景點(diǎn)都去了的人數(shù)的3倍。則只去一個(gè)景點(diǎn)的人數(shù)占游客總?cè)藬?shù)的比重為（ ）

 

A. 2/3 B. 3/4

 

C. 4/5 D. 5/6

 

【答案】B

 

【解析】游客去了AB之中至少一個(gè)景點(diǎn)，所以沒有去A的就是只去了B的游客，那么設(shè)只去A的是x只去B的也是x，只去一個(gè)景點(diǎn)的是2x。所以x+x=3y，y=x�？�?cè)藬?shù)：x+x+x=x，所以只去一個(gè)景點(diǎn)和總?cè)藬?shù)之比是3:4。

 

【小結(jié)】此題涉及兩集合，題目中出現(xiàn)倍數(shù)，所以做題時(shí)要結(jié)合賦值法，入手點(diǎn)為只去了A的游客和沒去A的游客數(shù)量相當(dāng)。并且題目中出現(xiàn)了“只”字，結(jié)合畫圖法。

 

【3】五年級(jí)一班共有55個(gè)學(xué)生，在暑假期間都參加了特長(zhǎng)培訓(xùn)班，35人參加書法班，28人參加美術(shù)班，31人參加舞蹈班，其中以上三種特長(zhǎng)培訓(xùn)班都參加的有6人，則有（ ）人只參加了一種特長(zhǎng)培訓(xùn)班。

 

A.45 B.33

 

C.29 D.22

 

【答案】D

 

【解析】參加兩種特長(zhǎng)培訓(xùn)班的小朋友人數(shù)為35+28+31-2×6-55=27人，則只參加了一種特長(zhǎng)班的人數(shù)為55-27-6=22人。

 

【小結(jié)】此題涉及三集合，給出了集合總數(shù)，分別給了三個(gè)集合的人數(shù)和三種都滿足的人數(shù)，所以我們結(jié)合公式法，求出只滿足兩個(gè)條件的人數(shù)，最終算出只滿足一個(gè)條件的人數(shù)。