2013-07-23 15:00:05 公務(wù)員考試網(wǎng) 文章來源:華圖教育
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十四、容斥原理問題
【頻考程度】★★★★☆
容斥原理是在不考慮重疊的情況下,先將所有對象的數(shù)目相加,再減去重復(fù)的部分,從而使得計算 的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)。近幾年的公務(wù)員錄用考試,容斥原理是考查的重點(diǎn)。
(1)兩個集合的容斥關(guān)系公式:A+B=AUB+A∩B。
(2)三個集合的容斥關(guān)系公式:A+B+C=AUBUC+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C。
【例題1】(2011年河北省真題)
某科研單位共有68名科研人員,其中45人具有碩士以上學(xué)歷,30人具有高級職稱,12人兼而有 之。沒有高級職稱也沒有碩士以上學(xué)歷的科研人員是多少人?()
A. 13 B. 10 C. 8 D. 5
解析:這是一道容斥原理問題。設(shè)既沒有高級職稱又沒有碩士以上學(xué)歷的人員有x人,根據(jù)容斥 原理基本公式得:45+30-12 = 68-X,解得:x=5。故選D。
【例題2】大學(xué)四年級某班共有50名同學(xué),其中奧運(yùn)會志愿者10人,全運(yùn)會志愿者17人,30人兩 種志愿者都不是,則班內(nèi)是全運(yùn)會志愿者而非奧運(yùn)會志愿者的同學(xué)為多少?()
A. 3 B. 7 C. 10 D. 17
解析:如圖所示,設(shè)既是奧運(yùn)志愿者又是全運(yùn)志愿者的人數(shù)為:r,根據(jù)容 斥原理得(10-x)+x+(17-x) +30 = 50,解得:x=7,17-7 = 10 人。故選 C。
【例題3】某班56名同學(xué)參加了奧數(shù)或作文課外興趣小組的活動,其中參 加奧數(shù)的有32人,參加作文的有35人,問兩種活動都參加的有多少 人?( )
A. 3 B. 11 C. 21 D. 24
解析:由題可知,兩種活動都參加的有32+35-56 = 11人。故選B。
知識積累
一般情況下,涉及求解元素個數(shù)的題目都需要用到容斥原理。解決容斥原理問題的方法有公式法= 和文氏圖法。
對于一卷簡單的題目,可以直接代人容斥原理公式進(jìn)行求解,對于較復(fù)雜的題目,應(yīng)用文氏圖法,并在圖上標(biāo)清已知數(shù)據(jù),可以幫助應(yīng)試者快速地建立解題思路,然后求解。
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