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2022國考行測備考之幾何問題中相似定理的應(yīng)用

2021-08-03 18:21:22 公務(wù)員考試網(wǎng) 華圖教育微信公眾號 華圖在線APP下載 文章來源:云南分院

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不管是公務(wù)員還是事業(yè)單位考試,數(shù)量關(guān)系對于絕大多數(shù)考生來說是一大難點,特別是幾何問題。對于幾何問題考查的重點主要分成三個部分:第一個部分是基本公式類、第二個部分是幾何特性、第三個部分是幾何構(gòu)造。而近幾年來考查的方向主要趨向于幾何特性部分,今天我們就來聊聊幾何特性部分中的三角形相似的應(yīng)用。

何為相似?

相似指相類、相像的意思。語出《易·系辭上》:"與天地相似,故不違。"學(xué)科上解釋:如果兩個圖形形狀相同,但大小不一定相等,那么這兩個圖形相似。

三角形相似

定義:三角分別相等,三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。

基本定理:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

即:

判定定理和性質(zhì)定理

判定定理 性質(zhì)定理
兩角對應(yīng)相等, 兩三角形相似。 相似三角形的對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例。
兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等, 兩三角形相似。 相似三角形周長的比等于相似比。
三邊對應(yīng)成比例, 兩三角形相似。 相似三角形面積的比等于相似比的平方。
直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似。 相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。

通過以上對于三角形相似的定義、判定定理以及性質(zhì)定理的學(xué)習(xí),我們來看看近幾年數(shù)量關(guān)系中對幾何性質(zhì)的考查題目。

【例題1】一塊三角形農(nóng)田ABC(如下圖所示)被DE、EF兩條道路分為三塊。已知BD=2AD,CE=2AE,CF=2BF,則三角形ADE、三角形CEF和四邊形BDEF的面積之比為:

A. 1∶3∶3

B. 1∶3∶4

C. 1∶4∶4

D. 1∶4∶5

【答案】C

【解析】第一步,本題考查幾何問題,屬于幾何特性類。

第二步,根據(jù)題意知,BD=2AD,CE=2AE,CF=2BF。得。根據(jù)三角形相似的判定定理:兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等, 兩三角形相似。即,再根據(jù)三角形相似的性質(zhì)定理:相似三角形面積的比等于相似比的平方,得三角形ADE和三角形ABC面積之比為1:9,因此三角形ABC的面積為9的倍數(shù),即三角形ADE、三角形CEF和四邊形BDEF的面積和為9的倍數(shù)。

因此,選擇C選項。

【例題2】如下圖,某植物園四邊形花圃ABCD的面積為90,EC:AE=5:4,則三角形花圃BCD的面積是多少?

A. 40

B. 50

C. 60

D. 65

【答案】B

【解析】第一步,本題考查幾何問題,屬于幾何特性類。

第二步,根據(jù)題意,做三角形 ABD 的高 AF 交 BD 于 F,做三角形 BCD 的高 CG 交 BD 于 G,則直角三角形 AFE 和直角三角形 CGE 相似,則對應(yīng)邊成比例,所以 AF:CG=4:5,三角形 ABD 和三角形 BCD 同底,所以對應(yīng)高的比等于面積比=4:5,則三角形 BCD的面積=。

因此,選擇B選項。

通過這些題目,我們不難看出,無論題目形式如何多變,但是內(nèi)涵本質(zhì)不變。在備考階段遇到幾何問題中涉及三角形時,應(yīng)用三角形相似的性質(zhì)做題,不僅會縮短做題的時間,還會提高效率。

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(編輯:donghaiyang)
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