2021-08-03 18:07:32 公務(wù)員考試網(wǎng) 文章來源:云南分院
首先,各位考生需要了解什么是不定方程。在考試中我們會(huì)遇到類似3x+4y=21這樣的方程,這種方程的特點(diǎn)在于:未知數(shù)的個(gè)數(shù)>方程的個(gè)數(shù),這樣的方程在未知數(shù)沒有任何限制的條件下,解是不固定的,所以我們稱之為不定方程。
不定方程屬于方程的一種,但是在解題難度上會(huì)略高于普通方程,如何把這種略難的問題快速掌握和解決呢?其實(shí)各位考生只需要掌握以下四種方法即可。
一、代入排除法
【例】設(shè) a、b 均為正整數(shù),若 11a+7b=84,則 a 的值為:
A.4
B.5
C.7
D.8
【解析】
第一步,通過未知數(shù)個(gè)數(shù)>方程個(gè)數(shù),可以判定本題屬于不定方程問題。
第二步,通過代入排除,將選項(xiàng)中a的值代入等式11a+7b=84驗(yàn)證,解出b應(yīng)為正整數(shù)即可。通過代入,四個(gè)選項(xiàng)中只有當(dāng)a=7時(shí),b的值為整數(shù)1滿足條件。 因此,選擇C選項(xiàng)。
【技巧總結(jié)】當(dāng)不定方程問題中只是簡(jiǎn)單的求解某個(gè)量,而不是未知量的和差或乘積關(guān)系,可以考慮代入排除法求解。
二、整除法
【例】9x+4y=81,x和y為正整數(shù),求y=( )?
A.3
B.6
C.18
D.45
【解析】
第一步,通過未知數(shù)個(gè)數(shù)>方程個(gè)數(shù),可以判定本題屬于不定方程問題。
第二步,通過對(duì)這個(gè)方程進(jìn)行觀察,不難發(fā)現(xiàn)9x的系數(shù)9和常數(shù)項(xiàng)81都能被9整除。根據(jù)乘法分配律,如果一個(gè)能被9整除的數(shù)加上另一個(gè)數(shù)的和能被9整除,那么另一個(gè)數(shù)也一定能被9整除,因此4y能被9整除,但4不能被9整除,所以只能是y被9整除,因此得出y是9的倍數(shù),所以直接選擇C,這種方法我們稱之為“整除法”。
【技巧總結(jié)】不定方程中,未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)有公約數(shù)時(shí),考慮整除法求解。
三、奇偶性
【例2】2x+3y=25,x和y為正整數(shù),求y=( )?
A.2
B.4
C.6
D.7
【解析】
第一步,通過未知數(shù)個(gè)數(shù)>方程個(gè)數(shù),可以判定本題屬于不定方程問題。
第二步,觀察等式兩邊的每一項(xiàng),2是偶數(shù),偶數(shù)的正整數(shù)倍也一定是偶數(shù),而25是一個(gè)奇數(shù),一個(gè)偶數(shù)加上另一個(gè)數(shù)的和是奇數(shù),說明另一個(gè)數(shù)一定是奇數(shù),也就是說3y一定是奇數(shù),而3是奇數(shù),奇數(shù)只有乘以奇數(shù)才能得到奇數(shù),所以y必須是奇數(shù),選項(xiàng)中只有D滿足條件,因此選擇D選項(xiàng)。
【技巧總結(jié)】不定方程中,未知數(shù)的系數(shù)為一奇一偶時(shí),考慮未知數(shù)的奇偶性。
四、尾數(shù)法
【例3】5x+6y=72,x和y為正整數(shù),x與y的和不大于13,求xy=( )?
A.12
B.0
C.24
D.42
【解析】
第一步,通過未知數(shù)個(gè)數(shù)>方程個(gè)數(shù),可以判定本題屬于不定方程問題。
第二步,觀察題干中的系數(shù)我們發(fā)現(xiàn),5這個(gè)數(shù)比較特殊,因?yàn)檎麛?shù)與5相乘的結(jié)果,尾數(shù)只有0或5兩種情況,因此我們可以通過尾數(shù)來進(jìn)行快速求解。當(dāng)然,因?yàn)槲粗獢?shù)的系數(shù)為一奇一偶,所以在這個(gè)過程中我們也可以結(jié)合奇偶性法來解題。利用奇偶性我們能判斷6y是偶數(shù),72是偶數(shù),偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù),所以能夠確定5x是偶數(shù),再根據(jù)尾數(shù)法確定5x的尾數(shù)只能是0,72的尾數(shù)是2,那么6y的尾數(shù)只能是2,所以y可以取的值只有2或7。當(dāng)y=2時(shí),x=12;當(dāng)y=7時(shí),x=6.由于x與y的和不大于13,所以滿足條件的只有y=7,x=6,6×7=42,因此選擇D。
【技巧總結(jié)】不定方程中,未知數(shù)的系數(shù)為5的倍數(shù)時(shí),考慮尾數(shù)法。
以上就是常用的不定方程的四大解題方法,各位考生如果能深入理解并靈活運(yùn)用,那么不定方程問題便能被輕松攻破。
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