2019北京公務(wù)員考試行測(cè)數(shù)學(xué)題：利用“剩余定理”

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在近年來(lái)的國(guó)家公務(wù)員考試、各地方省考中都會(huì)出現(xiàn)一類(lèi)題型，考查中國(guó)剩余定理，碰到此類(lèi)問(wèn)題，大部分同學(xué)可能采用代入法，可解決部分題目，華圖教育認(rèn)為，若能明確解題思路，就可達(dá)至秒殺速度，就必須明確題干特征和解題方法。希望能幫助到備戰(zhàn)2019年北京公務(wù)員考試的考生們！

一千多年前的《孫子算經(jīng)》中，有這樣一道算術(shù)題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何?這就是我們所知中國(guó)剩余定理。

一般剩余問(wèn)題的通用形式：一個(gè)數(shù)除以a余x，除以b余y，除以c余z，其中a、b、c兩兩互質(zhì)，求滿(mǎn)足該條件的最小數(shù)。

應(yīng)用類(lèi)型：

(1)余同加余：題干出現(xiàn)余數(shù)相同，即x=y=z，則滿(mǎn)足的數(shù)是[a、b、c]n+x，[a、b、c]表示為a、b、c最小公倍數(shù)。

(2)差同減差：題干出現(xiàn)每組除數(shù)和余數(shù)差相同，即a-x=b-y=c-z，則滿(mǎn)足的數(shù)是[a、b、c]n-(a-x)。

(3)和同加和：題干出現(xiàn)每組除數(shù)和余數(shù)和相同，即a-x=b-y=c-z，則滿(mǎn)足的數(shù)是[a、b、c]n+(a-x)。

(4)逐步滿(mǎn)足法：不存在上述情況下，從最大量開(kāi)始嘗試。

以下結(jié)合例題，講解如何利用剩余定理解題。

【例題】：三位運(yùn)動(dòng)員跨臺(tái)階，臺(tái)階總數(shù)在 100-150 級(jí)之間，第一位運(yùn)動(dòng)員每次跨 3 級(jí)臺(tái)階，最后一步還剩 2 級(jí)臺(tái)階。第二位運(yùn)動(dòng)員每次跨 4 級(jí)臺(tái)階，最后一步還剩 3 級(jí)臺(tái)階。第三位運(yùn)動(dòng)員每次跨 5 級(jí)臺(tái)階，最后一步還剩 4 級(jí)臺(tái)階。問(wèn)：這些臺(tái)階總共有多少級(jí)?

A.119 B.121 C.129 D.131

【答案】 A。

【解答】由題干的差相同，則若多 1 級(jí)臺(tái)階，則運(yùn)動(dòng)員每次跨 3、 4、 5 級(jí)，均正好跨完所有臺(tái)階，即臺(tái)階數(shù)加 1 是 3、 4、 5 的倍數(shù)，所以臺(tái)階數(shù)可表示為 60n-1( n 為正整數(shù))，結(jié)合選項(xiàng)可知答案為 A。當(dāng)然此題也可代入。

【例題】：三位數(shù)的自然數(shù)P滿(mǎn)足：除以 3 余 2，除以 7 余 3，除以 11 余 4，則符合條件的自然數(shù) P 有多少個(gè)?

A. 5 B.4 C.6 D.7

【答案】 B。

【解答】此題不滿(mǎn)足前面三種形式，故采用逐步滿(mǎn)足法，先從最大的除數(shù)開(kāi)始滿(mǎn)足，滿(mǎn)足除以 11 余 4 的最小數(shù)為 15，則11n+15 都滿(mǎn)足這一條件，當(dāng) n=0、 1、 2、 3 時(shí)，均不滿(mǎn)足除以 7 余 3，當(dāng) n=4 時(shí)， 11n+15=59，滿(mǎn)足除以 7 余 3， 11 和 7 的最小公倍數(shù)是 77，則 77n+59 都滿(mǎn)足這兩個(gè)條件。當(dāng) n=0 時(shí)， 59滿(mǎn)足除以 3 余 2， 77 和 3 的最小公倍數(shù)是 231，則 231n+59 滿(mǎn)足以上三個(gè)條件。又因?yàn)镻為三位數(shù)，所以 n 只能取 1、 2、 3、 4，即符合條件的自然數(shù)P有 4 個(gè)，選擇 B。

華圖教育認(rèn)為，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，使之變成大家常見(jiàn)的形式，在解答數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)有部分可用代入法，但卻不是達(dá)到秒殺之速度，所以就需認(rèn)清題干，使用技巧，快速解題，相信這類(lèi)題型將是是大家備考路上樂(lè)于見(jiàn)到的。

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