2018年陜西公務員考試行測備考：“韓信點兵”問題破解大法

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　　“韓信點兵”的故事家喻戶曉。據(jù)傳：秦朝末年，楚漢相爭，有一次韓信帶1500名將士與楚軍大戰(zhàn)，楚軍不敵，敗退回營，而漢軍也有四百多傷亡，只是具體傷亡多少一時還不知道。在漢軍整頓回營的過程中，楚軍騎兵來襲，于是韓信急速點兵迎敵。不一會兒，副官報告共有1035人，他還不放心，于是他命令士兵3人一列，結果多出2名;接著他命令士兵5人一列，結果多出3名;再命令士兵7人一列，結果又多出2名。韓信馬上向將士們宣布：值日副官計算錯了，我軍共有1073名勇士，敵人不足500，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人。漢軍本來就信服自己的統(tǒng)帥，這一來更相信韓信是“神仙下凡”，于是士氣大振，交戰(zhàn)不久，楚軍便大敗而逃。

　　在三次列隊后，韓信是如何算出了士兵的人數(shù)?這其中又蘊含著怎樣的道理呢?我們把“韓信點兵”故事中涉及到數(shù)學關系提煉出來，得到如下表述：有一個介于1000-1100之間的四位數(shù)，它除以3余數(shù)是2，除以5余數(shù)是3，除以7余數(shù)是2，那么這個數(shù)是幾?此類問題被稱之為“剩余問題”，在陜西公務員行測考試中也時常出現(xiàn)。

　　那么此類問題該如何破解呢?核心思想是：先找到符合要求的數(shù)的通項公式，再根據(jù)數(shù)值的范圍確定具體取值。具體操作方法：同余特性。下面華圖教育將按照由易到難、從特殊到一般的順序，和大家分享“同余特性”在“剩余問題”求解過程中的操作步驟。

　　(一)特殊模型

　　1.余同加余

　　若多個除式的被除數(shù)相同，余數(shù)也相同，那么這個被除數(shù)的值等于多個除數(shù)的最小公倍數(shù)加余數(shù)。如：X÷3余1，X÷5余1，那么X=15k+1。

　　例1.三位數(shù)的自然數(shù)P滿足：除以7余2，除以6余2，除以5也余2，則符合條件的自然數(shù)P有：( )

　　A.2個 B.3個 C.4個 D.5個

　　【答案】C。

　　【華圖解析】3個除式的被除數(shù)相同，均為自然數(shù)P，余數(shù)都是2，而除數(shù)7、6、5的最小公倍數(shù)是210，根據(jù)余同加余可得，P=210k+2。再結合題意，P是三位數(shù)，有100≤210k+2≤999，k可取值1、2、3、4，所以符合條件的P有4個，答案選C。

　　2.和同加和

　　若多個除式的被除數(shù)相同，除數(shù)和余數(shù)的和也相同，那么這個被除數(shù)的值等于多個除數(shù)的最小公倍數(shù)加“除數(shù)和余數(shù)的和”。如：X÷3余2，X÷4余1，那么X=12k+5。

　　例2.有一箱水蜜桃二百多個，每堆10個多3枚，每堆12個則余1個。則這箱水蜜桃有多少個?( )

　　A.243個 B.253個 C.263個 D. 273個

　　【答案】B。

　　【華圖解析】兩個除式的被除數(shù)相同，均為水蜜桃的個數(shù)，記為X，兩式“除數(shù)加余數(shù)的和”均為13，而除數(shù)10、12的最小公倍數(shù)是60，根據(jù)和同加和可得，X=60k+13。再結合題意，可知200<60k+13<300，k只能取4，所以X=60×4+13=253，答案選B。

　　3.差同減差

　　若兩個除式的被除數(shù)相同，除數(shù)和余數(shù)的差也相同，那么這個被除數(shù)的值等于兩個除數(shù)的最小公倍數(shù)減去“除數(shù)和余數(shù)的差”。如：X÷3余2，X÷4余3，那么X=12k-1。

　　例3.有一個小于200的正整數(shù)m，它除以11余8，除以13余10，則2m-80=( )

　　A.158 B.200 C.226 D. 244

　　【答案】B。

　　【華圖解析】兩個除式的被除數(shù)相同，均為m，兩式“除數(shù)與余數(shù)的差”均為3，而除數(shù)11、13的最小公倍數(shù)是143，根據(jù)差同減差可得，m=143k-3。由題可知0。

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