2022省考之常用勾股數在數量解題中的應用

直角三角形的三邊長度符合勾股定理：，符合該定理的常用勾股數如下表所示。

其中，應用最多的是3、4、5這一組及與其成比例關系的勾股數，例如6、8、10;12、16、20等。記住這些常用勾股數，一方面，幾何計算問題中涉及直角三角形邊長計算時，大多情況下可以省去求平方開方的復雜計算，事半功倍;另一方面，在一些問題中，若能聯(lián)系常用勾股數，可快速求解。下面，我們結合幾道真題來應用一下。

【例1】一個半圓形拱門的寬和高分別為8米和4米，一輛貨車拉著寬4.8米、每層高20厘米的泡沫板通過該拱門。如果車斗底部與地面的垂直距離為1.1米，問要通過拱門，每次最多可以裝載幾層泡沫板?

A.9B.10

C.11D.12

【答案】B

【解析】第一步，本題考查幾何問題，屬于平面幾何類。

第二步，如圖所示，在直角三角形OBC中，OC=OA=4米，，根據勾股定理，BC=，車斗底部與地面的垂直距離為1.1米，泡沫板每層高20厘米，<11，即每次最多可以裝載10層泡沫板。

因此，選擇B選項。

【說明】已知OC=4，OB=2.4，對應常用勾股數3、4、5，斜邊長度4=5×0.8，直角邊2.4=3×0.8，故另一條直角邊BC=4×0.8=3.2�？杀苊馄椒皆匍_方的復雜計算。

除了在直角三角形計算中聯(lián)系勾股數可快速求解，常用勾股數還可用于符合形式的基本計算中。

【例2】把一個正方形的四個角分別切除一個等腰三角形，剩下一個長寬不等的矩形。若被切除部分的總面積為400平方厘米，且切除的三角形的直角邊的長度均為整數，則所剩矩形的面積為多少平方厘米?

A.320B.336

C.360D.384

E.400F.420

G.441H.464

【答案】D

【解析】第一步，本題考查幾何問題，屬于平面幾何類。

第二步，設兩組等腰三角形的腰長分別為x、y，則切除部分面積為，化簡得，解得x=12，y=16。

第三步，故S矩形=S正方形-S切除部分=。

因此，選擇D選項。

【說明】本題若直接根據計算x、y的取值則過于復雜，而此式符合勾股定理的形式，可優(yōu)先考慮聯(lián)系常用勾股數求解。

【例3】邊長為整數且成等差數列的三個正方形，面積之和不大于5000，其中有兩個正方形的面積之和等于第3個正方形的面積，這樣的正方形存在多少組?

A.6B.7

C.9D.10

【答案】D

【解析】第一步，本題考查幾何問題。

第二步，設三個正方形邊長分別為a-n、a、a+n(a、n都是正整數)，那么由題意有：(a-n)²+a²=(a+n)²，化簡為a²=4an，由于a為正整數可知a=4n�？芍�三個正方形邊長分別為3n、4n、5n，面積之和為(3n)²+(4n)²+(5n)²=50n²≤5000，n²≤100，n可以取1到10，共10組解。

因此，選擇D選項。

【說明】若三個正方形邊長分別記為a,b,c，根據題意其面積符合，則取值優(yōu)先考慮常用勾股數，又根據“邊長為整數且成等差數列”，僅勾股數3、4、5及與其成比例關系的數字符合。面積之和不大于5000，則。c的取值為5的倍數且小于等于50，共50÷5=10個，故符合條件的共10組。

以上就是常用勾股數在數量關系中的應用，小伙伴們記住其應用情況，在后續(xù)解題中可以更快速的得出結果。

【小結】

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