2022國(guó)考行測(cè)數(shù)量關(guān)系預(yù)測(cè)：經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問題之一元二次函數(shù)求極值

近幾年的國(guó)考行測(cè)中，數(shù)量關(guān)系基本上至少有一道經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問題。經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問題作為行測(cè)考試中的高頻考點(diǎn)，因?yàn)樯婕暗浇疱X所以常與實(shí)際生活相結(jié)合進(jìn)行考查，但很多考生一涉及到金錢問題就傻傻算不清楚，總是跟“錢財(cái)”過不去。國(guó)考在即，圖圖老師掐指一算，靈機(jī)一動(dòng)，準(zhǔn)備了經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問題中的最值優(yōu)化類的題目給大家學(xué)一學(xué)。這種一元二次函數(shù)求極值的最值優(yōu)化類題，是一類不學(xué)不會(huì)、但是一學(xué)就會(huì)的題型。

在咱們?nèi)粘Ｉ�活中，若商品的進(jìn)價(jià)不變，如果商品的售價(jià)提高了，利潤(rùn)就變大了，但銷量自然而然會(huì)下降了;相反，如果商品的售價(jià)降低了，利潤(rùn)變少了，銷量自然而然就上升了，二者關(guān)系成反比例關(guān)系，俗稱“薄利多銷”。轉(zhuǎn)換到我們的行測(cè)考試中，就可以這么出題：隨著售價(jià)的高低起伏，引起銷量的降升變化，求總收入或者總利潤(rùn)在什么情況下可以最大化，其實(shí)本質(zhì)就是一個(gè)簡(jiǎn)單的一元二次函數(shù)求極值的知識(shí)點(diǎn)。

那么，我們一起先看看相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：

一元二次函數(shù)：y=ax2+bx+c(其中a≠0，a，b，c為常數(shù))

(一)公式法：

當(dāng)a>0時(shí)，時(shí)，y有最小值;

當(dāng)a<0時(shí)，時(shí)，y有最大值。

(二)因式分解法：將一元二次式分解成兩個(gè)一次因式的乘積形式，且兩個(gè)一次因式相加后和為定值，則令這兩個(gè)一次因式相等，如此可得極值下的x值。

真題詳解：某企業(yè)設(shè)計(jì)了一款工藝品，每件的成本是70元，為了合理定價(jià)，投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷。據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)是120元時(shí)，每天的銷售量是100件，而銷售單價(jià)每降價(jià)1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價(jià)不得低于成本。則銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大?

A.100元 B.102元

C.105元 D.108元

【真題解析】

解法一(公式法)：

第一步，本題考查經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問題，屬于最值優(yōu)化類。

第二步，設(shè)降價(jià)了n元，則單件工藝品利潤(rùn)為(120-70-n)元，銷量為(100+5n)件�？偫麧�(rùn)為(50-n)×(100+5n)=-5n2+150n+5000。

第三步，當(dāng)時(shí)，可得最大利潤(rùn)。此時(shí)的售價(jià)為120-15=105(元)。

因此，選擇C選項(xiàng)。

解法二(因式分解法)：

第一步，本題考查經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問題，屬于最值優(yōu)化類。

第二步，設(shè)降價(jià)了n元，則單件工藝品利潤(rùn)為(120-70-n)元，銷量為(100+5n)件�？偫麧�(rùn)為(50-n)×(100+5n)=5×(50-n)×(20+n)，此式在50-n=20+n時(shí)取得最大值，此時(shí)n=15。

第三步，此時(shí)的售價(jià)為120-15=105(元)。

因此，選擇C選項(xiàng)。

那我們最后再一起鞏固一下經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問題之最值優(yōu)化類的相關(guān)知識(shí)：

①題型特征明顯：隨售價(jià)的高低起伏，引起銷量的降升變化，求總收入或者總利潤(rùn)在什么情況下可以最大化的題型;

②技巧性杠杠的：兩種方法(公式法 or 因式分解法)。

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