行測數(shù)量關系：傳說中的十字交叉法

行測中數(shù)量關系時間短、任務重。不論是省考還是國考，平均下來幾乎都是1分鐘1道題，所以行測也被稱作是壓力型測試，相信如果給大家足夠長的時間，都會取得不錯的成績，所以對于數(shù)量這個科目來說，快速選出正確答案才是取得高分的關鍵。那么今天華圖教育就給大家介紹一種特殊的速算方法，也就是傳說中的十字交叉法。

這種方法能幫助我們解決復雜的混合類問題，在最開始命題時，十字交叉法在溶液問題上使用頻率較高，但隨著難度的逐年上升，它的使用范圍也進一步擴大，資料分析中也會用到十字交叉法去求解問題，因此掌握十字交叉法十分有必要。

先來看一種十字交叉法最簡單的考察形式。

例：甲溶液濃度為a%，乙溶液濃度為b%，混合后得到了濃度為c%溶液，求原來甲乙溶液質(zhì)量之比。

如果正常設未知數(shù)列方程求解的話，需要設甲溶液質(zhì)量為x，乙溶液質(zhì)量為y。根據(jù)溶質(zhì)=溶液×濃度，甲、乙兩個溶液的溶質(zhì)分別可以表示為a%x、b%y。因此混合以后，新的溶質(zhì)為原本兩溶液中溶質(zhì)的和(a%x+b%y)。同理，新的溶液質(zhì)量為甲、乙兩個溶液質(zhì)量的和(x+y)。即新溶液的濃度可以表示為。已知求的是甲乙溶液質(zhì)量之比，即x/y。所以將x/y進一步設為未知數(shù)z，令新溶液的濃度上下同時除以y，可進一步化為，即。已知新溶液濃度為c%，則，求出z=。

上述步驟也是對十字交叉法的原理推導過程。

若每次都這樣推算十分浪費時間，也不利于大家在考試中快速找到正確答案，因此，十字交叉法隨之產(chǎn)生，它就是簡化了上述推理步驟，直接根據(jù)我們推導出來的關系式簡單排列即可得出正確答案，方法如下：

混合前的比值寫左邊，上面一個下面一個，混合后的比值寫中間，接著劃十字，上減中寫下面，中減下寫上面，新的比值即為原公式分母的比。以這道題為例：

總結成一句話即：十字交叉的是公式的比值，得到的是分母的比。

(例：，用濃度做十字交叉，得到的是分母(溶液)的比)

由于方法以及原理的特殊性，十字交叉法的應用題型也受到了一些限制，它的應用前提為：整體包含兩部分，比值一高一低混成中間值。以一道真題為例。

【例】燒杯中裝了100克濃度為10%的鹽水。每次向該燒杯中加入不超過14克濃度為50%的鹽水，問最少加多少次之后，燒杯中的鹽水濃度能達到25%?(假設燒杯中鹽水不會溢出)

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

【答案】C

【解析】觀察發(fā)現(xiàn)題目間接給出了混合前的兩種濃度以及混合后的溶液濃度，并且所求也與公式分母(溶液質(zhì)量)有關，符合十字交叉法的前提條件，正常設未知數(shù)用公式求解也可以做，但用十字交叉法會更快速的得出答案。

，交叉的是濃度，得到的是溶液質(zhì)量之比。設一共加入鹽水x克。

因此總共加入鹽水共60克，由題意可知，每次加入不超過14克，則最少加入了≈4.3次，取整即5次。正確選項為C選項。

以上是十字交叉法在數(shù)量關系溶液問題里的應用，它也可以廣泛的應用于其他含有比例關系式子的題目。例題如下：

【例】某高校藝術學院分音樂系和美術系兩個系別，已知學院男生人數(shù)占總人數(shù)的30%，且音樂系男女生人數(shù)之比為1∶3，美術系男女生人數(shù)之比為2∶3，問音樂系和美術系的總人數(shù)之比為多少?

A. 5∶2

B. 5∶1

C. 3∶1

D. 2∶1

【答案】D

【解析】這道題雖然沒有明確說明具體公式，但依據(jù)題意可以分析出來，藝術學院總人數(shù)=音樂系人數(shù)+美術系人數(shù);男生比重=。所以可以將音樂系和美術系看成混合前的兩個量，藝術學院看成是混合后的量，符合十字交叉法的前提。交叉的是比值即男生比重，得到的是分母的比，即各系總人數(shù)之比。十字交叉如下：

即音樂系總人數(shù)與美術系總人數(shù)之比為2∶1。

因此答案為D。

同樣的，十字交叉法也可以廣泛應用于資料分析中，、即涉及到混合平均數(shù)、混合比重以及混合增長率時，十字交叉法也可以幫助我們簡化計算過程。

【例】2018年國家統(tǒng)計局組織開展了第二次全國時間利用的隨機抽樣調(diào)查，共調(diào)查48580人。結果顯示，受訪居民在一天的活動中，有酬勞動平均用時4小時24分鐘。其中，男性5小時15分鐘，女性3小時35分鐘;城鎮(zhèn)居民3小時59分鐘，農(nóng)村居民5小時1分鐘;工作日4小時50分鐘，休息日3小時19分鐘。受訪居民有酬勞動的參與率為59.0%，其中城鎮(zhèn)居民53.1%。受訪居民無酬勞動平均用時2小時42分鐘。其中，女性3小時48分鐘;農(nóng)村居民2小時39分鐘;工作日2小時34分鐘。受訪居民無酬勞動的參與率為70.2%，其中男性55.3%。

受訪的男性居民約有：

A.2.38萬人

B.2.43萬人

C.2.65萬人

D.2.91萬人

【答案】A

【解析】本題所求為受訪的男性居民，雖然給出了受訪者的總人數(shù)，但并未給出其中男性所占的比重，所以無法直接求解。但依據(jù)題意可知受訪者=男性+女性，與其有關的數(shù)據(jù)只有“有酬勞動平均用時4小時24分鐘。其中，男性5小時15分鐘，女性3小時35分鐘”。

通過分析可以發(fā)現(xiàn)有酬勞動平均用時可以看成是男性與女性的混合平均數(shù)，故符合十字交叉法的使用條件。交叉的是比值即有酬勞動平均用時，得到的是分母(男女總人數(shù))的比。

有酬勞動平均用時4小時24分鐘，即264分鐘;男性有酬勞動平均用時5小時15分鐘，即315分鐘;女性有酬勞動平均用時3小時35分鐘，即215分鐘。利用十字交叉可得：

即男女人數(shù)之比為49：51，則男性占總人數(shù)的比重為 。根據(jù)部分量=整體量×比重，則男性受訪者人數(shù)約為4.86×49%≈2.38(萬人)。 因此，選擇A選項。

這就是十字交叉法的綜合應用，它其實本質(zhì)上是幫助我們縮短了計算的步驟，當遇到復雜的混合類比值問題時，使用十字交叉法就可以快人一步得到正確答案。也可以為其他題目爭取計算時間，但也要注意靈活變通，找到題目中隱藏的比值關系，從而選出答案。

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